في التحليل الرياضي، نستخدم معايير التقارب للتحقق من تقارب سلسلة لامنتهية معطاة.[1][2][3]
لتكن السلسلة
المكونة من مجموع حدود المتتالية ![{\displaystyle \left\{a_{1},\ a_{2},\ a_{3},\dots \right\}\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48607892d75282166d010b77b9c19343cea241cb)
![{\displaystyle S=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\dots \!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44aa9b2b8256fef9bb62abb6ea81cdce07f324fd)
نعرف
على انها سلسلة جزئية من
، حيث نكتفي بمجموع أول عدد N من الحدود
![{\displaystyle S_{N}=\sum _{n=1}^{N}a_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\dots +a_{N}\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf36e0259669da7ccfde9fce51363543c43b93d5)
نقول عن سلسلة بأنها متقاربة إذا تقاربت المتتالية المكونة من السلاسل الجزئية
.
هناك عدة معايير لتحديد ما إذا كانت السلسلة متقاربة أم متباعدة
معيار المقارنة
نقارن حدود المتتالية
بمتتالية أخرى
بحيث من أجل أي n،
إذا كان
، وكانت السلسلة
هي سلسلة متقاربة، فان
متقاربة حتماً.
أما إذا كان
وكانت السلسلة
هي سلسلة متباعدة، فان السلسلة
هي سلسلة متباعدة حتماً.
معيار دالامبير
من أجل كل القيم الموجبة لـ n وa_n، يوجد عدد L بحيث
![{\displaystyle L=\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d61d6fe486797afcce7db0cbcfcb47bb41ea2681)
- إذا كان
فالسلسلة متقاربة. - إذا كان L>1 فالسلسة متباعدة.
- في حال كان L=1 فعندها يكون المعيار غير ذي جدوى. ويمكن استخدام معيار رابي Raabe.
معيار رابي
عندما![{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b228fa8e6c9accd2dfb00f549392aa4f9fe4ce08)
وإذا وجد عدد
بحيث
فعندها نقول أن السلسلة مطلقة التقارب.
معيار كوشي الجذري
نبحث عن قيمة النهاية![{\displaystyle k=\lim _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{a_{n}}}\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b1b565310d886456df2915f9543287813b0e892)
- إذا كان
فالسلسلة متقاربة. - إذا كان
فالسلسلة متباعدة. - أما في حال
فنقول أن المعيار غير دي جدوى.
مراجع